*********
Megoldás: A felhajtóerő a kiszorított folyadék tömegközéppontjában
támad és felfelé irányul. Ámde ez az ismert felhajtóerő arra az
esetre vonatkozna, ha a félhengert minden oldalról folyadék venné
körül. Jelen esetben a folyadék nyomásából származó eredő
nyomóerő nem azonos a közismert felhajtóerővel, mert a
félhengernek csak a palástján hat a folyadék, a felezési síkfelületen
nem. A félhenger palástjára ható nyomóerők /a henger tengelyére
vonatkozó/ forgatónyomatéka viszont zérus, mert az elemi nyomóerők
átmennek a tengelyen.
Megjegyzés: A középen csapágyazott henger akkor sem fordulhat el, ha
nem pont félig ér a folyadékba. A nyomóerő ugyanis mindig merőleges a
hengerrész palástjára, így az abból eredő forgatónyomaték zérus.
*****************
Bizonyítás: C legyen a centrum, amelyen a centrális erők mindegyike
átmegy. Ekkor minden összetevő C-re vonatkozó karja, így nyomatéka is
zérus. Így tehát
a centrális erőrendszert helyettesíthetjük az erőknek a C-ben támadó
vektori
eredőjével.
**********
Elektrosztatikai "örökmozgó"
Elrendezés
(Internetről
http://www.geocities.com/k_pullo/system3.htm):
egy R suagrú K külső fémgömbben egy r sugarú B belső fémgömb, távol
tőlük
egy R sugarú harmadik fémgömb. A kapcsolók mozgatásával a töltések
körbemenni
látszanak: H-B-K-H ciklusban.
Kérdés: Tegyük fel, hogy a gömbök kezdetben nincsenek
összekötve,
töltésük pedig rendre K,0,H. Kösszük össze H-t és B-t, ekkor a töltések
értéke
K,B,H-B. Mennyi töltés megy át B-re H-ról: B=?
Megoldás arra az esetre, ha a K és H gömbök elég
távol
vannak egymástól. (Ezen közelítő feltétel nélkül a H és K befolyásolnák
egymáson
a töltéseloszlást.) Ekkor mindegyik gömbön gömbszimmetrikus
töltéseloszlással
számolhatunk. A gömbök középpontjai legyenek az x tengelyen, d
távolságra
egymástól. A potenciál értékét válasszuk nullának a végtelenben, az
egyes
gömbökön a potenciálértékeket jelöljük így: UK,UB,UH. A
potenciálkülönbségek
számítását az x tengelyen számítjuk olymódon, hogy a tér H-n és K-n
kívül
a K+B, H-B ponttöltések tere, míg K és B között csak a B ponttöltés
számít.
-UK=-(K+B)/R –H/(d+R)
UK-UB=-B(1/r – 1/R)
UB=UH az összekötés miatt
UH =H/R+(K+B)/(d+R)
Ezekből adódik:
B=(H-K)(1/R-1/(d+R)/(1/r+1/R-2/(d+R))
Tehát az elrendezéssel sugallt töltéscirkuláció nem jöhet létre, mert
H-ról
csak akkor mehet töltés B-re, ha H nagyobb, mint K.
Ha egy további közelítő feltételt teszünk, nevezetesen, hogy K és B
legyen
elég közel egymáshoz, azaz R-r elég kicsi, akkor B=(H-K)/2.
Megjegyzés: a termodinamikában az örökmozgótól munkavégzést
szokásos
elvárni. Azonban olyan örökmozgó sem lehetséges, ami nem végez ugyan
munkát,
de ciklusban jár. Jelen esetben, ha az elektrosztatikai örökmozgó
működne,
akkor ellenállások közbeiktatásával az elrendezés hőt produkálna. .
*****
Gravitáció.
Tételezzük fel, hogy egy m tömegű tömegpont gömbszimmetrikus eloszlású
gázfelhőben a gázfelhő gravitációs terében kering az origó körül.
a) Határozzuk meg a keringési időt!
b) Milyen a gázfelhő sűrűségeloszlása, ha a keringés periódusa
független a körpálya sugarától?
Megoldás.
a) A gázfelhőnek csak a keringési sugáron, R-en belüli része vonz, a
külső rész gravitációs ereje a gömbszimmetria miatt zérus. Inteegrál a
sugár szerint.
b) sűrűség =konstans.
Megjegyzések:
1. A csillagok és a csillagközi felhők eloszlása alapján a
Kepler-törvény szerint az egyre nagyobb sugarú pályákhoz egyre kisebb
keringési sebesség tartozik. A megfigyelések szerint azonban ez nem így
van. A Napénál nagyobb galaktocentrikus távolságokban a keringési
sebesség a centrumtól való távolságtól függetlenül szinte azonos.
/
Az Univerzum, amelyben élünk http://www.matud.iif.hu/04jun/006.html/
Eme paradoxon egyik lehetséges feloldása: az ún. sötét anyag
feltételezése: nem látható, csak gravitációs hatásából következtetünk
létére. A feladat szerint csak a konstans sűrűségű gömbszimmetrikus
eloszlás képes arra, hogy egy pontrendszer gravitációs erő hatására
sugártól független szögsebességgel forogjon.
***************
