Matematikai modellezés

2x4x2 óra elõadás alkalmazott matematikus hallgatóknak a differenciálegyenletek alkalmazásáról.
 

1. félév

dx/dt=kx
Pozitív, negatív k. Általános megoldás. Relaxációs idő, felezési idő. Áttérés tetszőleges alapra.
Alkalmazás: hőmérő tehetetlensége.

Extenzív mennyiség, sűrűség, fajlagos érték. Dirac-delta. Áramerősség, áramsűrűség. Globális mérleg, lokális mérleg levezetése. Hőkapacitás, lineáris hőátadás

*******************
Reverzibilis reakció. Egyensúly. Tömeghatás törvénye. Aszimptotikus állapot.

Modell,  finomított modell. Határérték. A tömegpont modell  korlátai: henger legördülése lejtőn.

Láncreakció: X  -> Y -> Z rendszer. Reaktáns, intermedier, végtermék időfüggése. Hosszabb lánc: több szélsőérték.
*******************

Oszcillációs reakciók létezése.

Mechanizmus. Elemi reakciók, reakciósebesség. Sztöchiometriai együtthatók, mérlegegyenletek. Sebességi egyenletek, kinetikai differenciálegyenletek. Tömeghatás kinetika. Reakció rendje.

Lotka-Volterra rendszer. Skálázás, dimenziótlanítás, transzformálás normál formára. Fázisportré.

***************
Általánosított Lotka-Volterra rendszer. Konzervatív rendszer: első integrál. Ljapunov-függvény: stabil és explozív rendszer.
Dinamikai rendszerek. Speciális dinamikai rendszerek: gradiens, hamiltoni, konzervatív, reverzibilis, Ljapunov-függvényes.

**************************
Feladatok:
1. Hogyan változik két véges hőkapacitású test hőmérséklete időben, ha a két test között lineáris hőátadás van?
2. Írjuk fel és oldjuk meg a hőmérsékletekre vonatkozó differenciálegyenlet-rendszert arra az esetre, ha A és B között valamint B és C között lineáris hőátadás van!

********************************
2. félév
Extenzív mennyiség. Globális, lokális mérleg. Parciális és szubsztanciális időderivált. Szubsztanciális mérleg. Konvektív áramsűrűség. Tömegmérleg. Inkompresszibilis fluidum.

Divergencia tétel. Rotáció tétel. A grad, div, rot és a Laplace operátor ki fejezése Descartes-rendszerben. Koordinátainvariáns definíció, szemléletes jelentés, n dimenziós gömbszimmetrikus alak.
*********************
Hővezetés. Fourier-törvény. A Fourier differenciálegyenlet. Peremfeltételek 3 szokásos  típusa. Dinamikai rendszerek alapfogalmai, szemidinamikai rendszer. Paraméteres dinamikai rendszer: bifurkációk.

A megoldásokban felhasználható általános elvek: szimmetriaelv, szuperpozíció elve. Az általános probléma redukciója. Green-függvény: a Dirac-delta forrásra adott válasz. A Green-tüggvény levezetése n dimenziós gömbszimmetrikus esetre.
Félvégtelen test: tükrözési módszer.

A változók szeparálásának módszere. Alkalmazás lineáris forrástag és 1 dimenziós véges esetre. A Laplace-operátor sajátfüggvényei, sajátértékei. Kritikus méret, nukleáris láncreakció.

A talaj napi és évi  hőmérsékletingadozásainak modellje.

A haladó hullám típusú megoldás. Haladó hullámok  a fizikai, kémiai, biológiai rendszerekben.
Feladatok
1. Vezessük le a globális mérlegből a lokálisat! Milyen feltételeket használunk ki?
2. Vezessük le a lokális mérlegből a szubsztanciális mérleget!
3. A lokális mérleg általános alakjából kiindulva adjuk meg a lokális tömegmérleget! Vezessük le ebből a szubsztanciális tömegmérleget!
4. Adott egy fluidum sebességtere:  v=bxr, ahol b konstans vektor. Rajzoljuk fel az áramvonalakat! Inkompresszibilis-e ez a fluidum?
5. Inkompresszibilis fluidum hengerszimmetrikusan körbeáramlik egy henger körül. Adjuk meg a sebességteret!
6. Határozzuk meg a Fourier-egyenlethez tartozü Green-függvényt félvégtelen rúdra! /Induljunk ki a végtelen rúdból, és alkalmazzuk a tükrözési módszert!/
7. Adjuk meg a hőmérsékleteloszlás időfüggését egy végtelen homogén rúdban, ha a kezdeti feltétel: T(x) = 0,   x<0-ra, és T(x)=1  x>0-ra! /Vegyük észre, hogy ez a kezdeti feltétel a Dirac-delta integrálja!/
 ***************

Symbols:


" $ ' @  ~ £  ¦  ¡ § ¨ © ª «  » º ¹ ¸ · µ ³ ± ¯  ­ ¬ ×
 
 

Back  Oktatás