Dinamikai rendszerek
Vizsgazárthelyi
2002 dec. 6.

1.) Egy skaláris differenciálegyenlet az alábbi alakú:

ahol  egy paraméter, c pedig egy állandó, amelynek értéke a feladat a) és b) pontjában legyen 0.
a) Adjuk meg a =0,5 paraméterértéknél a stacionárius pontok helyét és stabilitását! (Indokoljuk a választ!)
b) Milyen bifurkációk fordulnak elő a  paraméter változtatása során? Szerkesszünk xS=xS() (xS: x stacionárius értéke) megoldás-diagramot a válasz indoklásához! (Stabil stacionárius pont helye  függvényében: folytonos vonal, instabil stacionárius pont helye  függvényében: szaggatott vonal.)
c) Most az (1) differenciálegyenletben a c konstans értéke legyen 1. Rajzoljuk fel erre az esetre is a b) kérdés szerinti megoldás-diagramot, de csak kvalitatív módon. ( A bifurkációk pontos helyét itt nem kell megadni, mert csak iterációval számíthatók ezek az értékek.)

2.) Egy kétváltozós lineáris differenciálegyenlet-rendszer A együtthatómátrixa az alábbi alakú:
ahol  egy paraméter.

a) Határozzuk meg, hogy milyen  értéknél láthatók az alábbi fázisportrék:

	a1)	a2)	a3)

b) Határozzuk meg a sajátértékeket és a hozzájuk tartozó sajátvektorokat a 
     = -/2 paraméterértéknél, és ennek alapján rajzoljuk fel a kvalitatív      
    fázisportrét!

3.) a) Hány stacionárius pontja van az alábbi differenciálegyenlet-rendszernek a =-1, a =0 és a =+1 paraméterértéknél?
b) Állapítsuk meg az origónak, mint stacionárius pontnak a jellegét a =-1 és a =+1 paraméterérték esetén!
c) Milyen bifurkáció történik a =0 paraméterértéknél? Indokoljuk a választ!

4.) Tekintsük az alábbi négy, polárszorzattal adott dinamikai rendszert:
4.1.) Készítsünk az a) esetben a =+1, a b) esetben a =-1, a c) esetben pedig a =0,16 paraméterértékhez tartozó vázlatos r - dr/dt diagramot. (A rádiusz dr/dt változási sebességét ábrázoljuk az r függvényében. Az r negatív értékeihez tartozó időderiváltakat nem kell ábrázolni, mivel negatív rádiusznak 
nincs értelme.) A d) esetben a =0,5 paraméterértékhez tartozó r-dr/dt és 
-d/dt diagramokat készítsünk. Milyen a stacionárius pontok stabilitása ezeken a diagramokon, és a stacionárius pontok milyen dinamikai viselkedésnek felelnek meg az r- fázissíkon?
4.2.) Készítsünk a rendszer aszimptotikus állapotát –vagyis az rS stacionárius sugarat az a)-c) esetben, illetve a S stacionárius szöget a d) esetben – a  paraméter függvényében feltüntető szimbolikus megoldás-diagramokat! Ennek megfelelően milyen bifurkációk jönnek létre a fázissíkon?

5.) Tekintsük az alábbi „sátortető” leképezést a 0-1 intervallumban:
ahol  egy paraméter.
a) Rajzoljuk le a leképezést a =0,2 ; 0,4 ; 0,8 és 0,9 értékeknél!
b) Adjuk meg a dinamikai rendszer stacionárius állapotait ugyanezekben az esetekben (indoklással!)! Néhány szóval jellemezzük is a rendszer dinamikai viselkedését mind a négy esetben!