DINAMIKAI RENDSZEREK

1. A tárgy felelõs tanszéke és oktatói: Fizika Tanszék,

Kály-Kullai Kristóf

2. Heti óraszám: 2 óra elõadás, követelmény: vizsga, nincs gyakorlati jegy, kredit érték: 2

3. Irodalom:

1.) Dr. Bazsa György (szerk.) és szerzõtársai: "Nemlineáris dinamika és egzotikus kinetikai jelenségek kémiai rendszerekben" (Debrecen, Budapest 1992) egyetemi jegyzet egyes részei. (Ez a tanszékrõl kölcsönözhetõ a tanulmányok idejére.)

2.) J.M.T. Thompson and H.B. Stewart: Nonlinear Dynamics and Chaos, Wiley 1986.

Dinamikai rendszerek jegyzet
1.ora
2.ora
3.ora
4.ora
5.ora
6.ora
7.ora
8.ora
9.ora
10.ora
ZH tanacsok

4. Részletes tárgyprogram:

Bevezetés. Példák dinamikai rendszerekre. Kísérlet oszcillációs reakcióval. A dinamikai rendszerek osztályozása a rendszer fizikai természete szerint (fizikai, kémiai, biológiai, gazdasági stb.), a dinamikai viselkedés szerint (disszipatív, konzervatív, explozív) és a modell matematikai természete szerint (ODE, PDE, leképezések, sejtautomaták). Különféle dinamikai rendszerek és viselkedések illusztrációja videóval és számítógépes szimulációval.

(2óra)

A dinamikai rendszer fogalma. Determinisztikus rendszer. Szemi-dinamikai rendszer. Trajektória. Csoportsajátság. Stacionárius pont. Diszkrét és folytonos dinamikai rendszerek. Szabadsági fok. Véges és végtelen szabadsági fokú dinamikai rendszerek.

(2 óra)

Dinamikai rendszerek kémiai példákon keresztül. A folyamatosan kevert tartályreaktor (CSTR), mint dinamikai rendszer. Sebességi egyenlet és tömeghatás törvény. Transzportegyenlet felírása a mérlegegyenlet és a sebességi egyenlet segítségével. Konzervatív oszcillációk a Lotka-Volterra rendszerben. Határciklusos oszcilláció és a Brüsszelátor modell. Egy valós modell: az Oregonátor. Kaotikus oszcilláció a meteorológiában: a Lorenz modell. Az elõadáson elhangzottakat számítógépes szimuláció illusztrálja.

7.-8. óra

Differenciálható dinamikai rendszer, vektormezõ. Stacionárius pont stabilitása. Ljapunov stabilitás, aszimptotikus stabilitás, globális aszimptotikus stabilitás. Tetszõleges megoldás stabilitása. Alfa és omega határhalmaz. Periodikus megoldás. Periodikus megoldás orbitális stabilitása. Határciklus. Határciklus stabilitása. A Poincaré-Bendixson tétel. Ljapunov függvény. Attraktív halmaz. Medence. Attraktor. Attraktorok típusai: pont, periodikus, kváziperiodikus attraktor, különös attraktor. Káosz.

9.-10. óra

Nemlineáris dinamikai rendszerek lokális stabilitásvizsgálata a stacionárius pont közelében. Linearizált rendszer. Jacobi-matrix. Karakterisztikus egyenlet, sajátérték, sajátvektor. Hiperbolikus stacionárius pont. Nyelõ, forrás, nyeregpont. Egydimenziós rendszerek stacionárius pontjai: stabil, instabil, degenerált.

11.-12. óra

Kétdimenziós lineáris rendszerek stacionárius pontjai: nyereg, csomó, fókusz (izoláltak), nem izoláltak. A dinamikai viselkedés "trace-det térképe". Statikus és dinamikus instabilitás szemléltetése két elektromos töltés között szabályozottan rezgõ harmadik töltéssel.

13.-14. óra

Számítógéppel illusztrált számítási gyakorlat kétdimeziós dinamikai rendszerek egyensúlyi pontjainak vizsgálatára. Stacionárius pontok három dimenzióban: attraktorok, nyeregpontok és repellorok. A nemlinearitás szerepe. Összehasonlítás a teljes nemlineáris Brüsszelátor modell viselkedése, valamint annak linearizált változatának a viselkedése között.

15.-16. óra

Példa analitikusan számítható határciklusra. A paraméter hatása a dinamikai rendszer viselkedésére. Lineáris és nemlineáris modellek összehasonlítása. Hopf bifurkáció. Paraméteres dinamikai rendszer. A bifurkáció fogalma általában. Struktúrális stabilitás. Stacionárius pontok bifurkációi: nyereg-csomó (saddle-node), transzkritikus, vasvilla (pitchfork) és Hopf bifurkáció. Szuper- és szubkritikus Hopf bifurkáció.

17.-18. óra

A Van der Pol oszcillátor. Fizikai megvalósítás: elektronikus RC oszcillátor alagút-diódával. Relaxációs oszcillációk a Van der Pol oszcillátorral. A degenerált rendszer trajektóriái. Határiklus bizonyítása a Van der Pol oszcillátorra a Poincaré-Bendixson tétellel (csak kvalitatívan). A Duffing oszcillátor (ha van rá idõ), kaotikus oszcillációk disszipatív mechanikai rendszerekben.

19.-20. óra

Határciklus létrejöttéhez vezetõ bifurkációk. Lokális: Hopf. Globális: kettõs hurok (double-loop, jug handle), nyereg-csomó hurok (saddle-node loop, SNIPER), homoklinikus nyereg-hurok (saddle-loop) bifurkáció. Határciklusok további bifurkációi, a perióduskettõzõ és a Naimark-Sackers bifurkációk. Néhány számítógépes példa. Bifurkációs diagramok "olvasása" példákon keresztül.

21.-22. óra

Ismétlés és feladatmegoldás a közönséges differenciálegyenletekkel megadható dinamikai rendszerek körébõl. Szorgalmi házifeladatok kiadása.

23.-24. óra

Poincaré-metszet. Két példa: kényszerrezgés RL körben és "forced" Van der Pol oszcillátor. Lamerey diagram v. Lamerey lépcsõ. Leképezések.

25.-26. óra

Egydimenziós leképezések. A differenciálegyenlet (flow) és a leképezés (map) összehasonlítása. A logisztikus leképezés. Egydimenziós leképezések bifurkációi: saddle-node, transcritical, pitchfork. A perióduskettõzõ bifurkációknak a káoszhoz vezetõ végtelen sorozata. Ljapunov exponens. Kaotikus viselkedés jellemzése.

27.-28. óra

Ismétlés. Felkészülés a zárthelyi dolgozatra.

29.-30. óra

Zárthelyi.